Question

【題目】如圖，在中，，，、是的兩個外角，平分，平分．

求證：四邊形是菱形．

若，連接，求長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）由在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，可得△ABC是等邊三角形，又由AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，可得△ACD是等邊三角形，繼而證得結論；

（2）由四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，易得AC與BD互相垂直且平分，然后由含30°角的直角三角形的性質，求得答案．

（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，∴∠FAC=∠ACE=120°．

∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，∴∠DAC=∠DCA=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AD=CD=AC，∴AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∠ABO=∠ABC=30°，∴OA=AB=×2=1，∴OB==，∴BD=2OB=．