Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，但始終保持EF⊥DE交BC于點F．

（1）求證：△ADE∽△BEF；

（2）若正方形的邊長為4，設AE=x，BF=y，求y與x之間的函數解析式；

（3）當x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ；（3）當時， 取得最大值， .

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質及余角的性質得出△ADE與△BEF的兩對應角相等，從而得出△ADE∽△BEF；
（2）根據相似三角形的性質得出y關于x的函數解析式及函數的定義域；
（3）利用配方法，即可解決問題；

試題解析：

（1）∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ ∠A＝∠B＝90°，∴ ∠1＋∠2＝90°，

又∵，∴ ∠2＋∠3＝90°，∴ ∠1＝∠3 ，

∴ ∽；

（2）依題意知：AB＝AD＝4，

∵，∴ BE＝ ，

由（1）知∽， ∴ ，

即 ，

∴ ，

即 ；

（3）∵ ，

∴ 當時， 取得最大值， .