Question

在正實數范圍內，只存在一個數是關于x的方程

x2+kx+3

x-1

=3x+k的解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：先把原方程化為2x²-3x-（k+3）=0，一定是一個一元二次方程，在正實數范圍內，只存在一個數是關于x的方程的解，因而可能方程有兩個相同的實根，求得即可進行判斷；或解方程得到的兩個根中有一個是方程的增根，即x=1是方程2x²-3x-（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后進行判斷；或方程有兩個異號得實數根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，進行判斷．因而這個方程中再分四種情況討論：
（1）當△=0時；
（2）若x=1是方程①的根；
（3）當方程①有異號實根時；
（4）當方程①有一個根為0時，最后結合題意總結結果即可．

解答：解：原方程可化為2x²-3x-（k+3）=0，①
（1）當△=0時，k=-

33

8

，x1=x2=

3

4

滿足條件；
（2）若x=1是方程①的根，得2×1²-3×1-（k+3）=0，k=-4；
此時方程①的另一個根為

1

2

，故原方程也只有一根x=

1

2

；
（3）當方程①有異號實根時，x1x2=

-k-3

2

＜0，得k＞-3，此時原方程也只有一個正實數根；
（4）當方程①有一個根為0時，k=-3，另一個根為x=

3

2

，此時原方程也只有一個正實根．
綜上所述，滿足條件的k的取值范圍是k=-

33

8

或k=-4或k≥-3．

點評：主要考查了方程解的定義和分式的運算，此類題型的特點要分情況討論．