Question

一天，小明在做剪紙拼圖游戲時(shí)，無(wú)意中，他把如圖所示的一張正三角形紙片和一張扇形紙片疊在一起，且正三角形的中心O恰好為扇形的圓心，接著，他把扇形繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，…．
（1）小明思考這樣一個(gè)問(wèn)題：在把扇形繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩張紙片的重疊部分面積是否一定會(huì)保持不變呢？你能幫助小明解答這一問(wèn)題嗎？你若認(rèn)為重疊部分面積能保持不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若認(rèn)為不能保持不變，請(qǐng)問(wèn)對(duì)這兩張紙片再增加什么條件，就能使得扇形繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中它們的重疊部分面積一定會(huì)保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）由這一游戲，你還能聯(lián)想到怎樣的圖形在變換過(guò)程中，也具有類似的性質(zhì)？請(qǐng)畫出圖形，并作簡(jiǎn)要闡述，不要求證明．

Answer 1

解：（1）兩張紙片的重疊部分面積不一定會(huì)保持不變．應(yīng)增加條件“扇形紙片的圓心角∠DOE為120°”
簡(jiǎn)證如下：連接OB、OC，因?yàn)辄c(diǎn)O是等邊△ABC的中心，所以O(shè)B、OC為角平分線，且OB=OC，可證△OGB≌△OFC，從而重疊部分面積等于△OBC的面積，即等于等邊△ABC的面積的（定值）．

（2）由這一游戲，還能聯(lián)想到如圖所示的兩個(gè)正方形：點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)稱中心，另一正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形的重疊部分面積保持不變，總是正方形ABCD的面積的．
分析：（1）因?yàn)橹丿B部分總等于三角形面積的，可以先從三角形考慮，O為中心也就是與正三角形的中心角重合，所以應(yīng)為120°，證明是要分兩種情況：即特殊和一般，特殊情況時(shí)就是猜想所用的情況，顯然成立，一般情況的證明從三角形全等把四邊形的面積分解成兩個(gè)三角形，最后再歸到正三角形的中心角為120°的三角形．
（2）利用相同的作法還可以得到點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)稱中心，另一正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形的重疊部分面積保持不變，總是正方形ABCD的面積的．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；猜想時(shí)從三角形考慮是解答本題的突破點(diǎn)，證明時(shí)一般情況的證明容易被學(xué)生忽視．