Question

【題目】閱讀理解

如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合．

探究發現

△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？ 　 　（填“是”或“不是”）．

小麗經過三次折疊發現了∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為 ．

根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為　 　．

應用提升

（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．

請你完成，如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）∠B=n∠C；（3）4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º．

【解析】試題分析：（1）仔細分析題意根據折疊的性質及“好角”的定義即可作出判斷；

（2）因為經過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A2B2C=∠C，由∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得結果；

（3）因為最小角是4是△ABC的好角，根據好角定義，則可設另兩角分別為4m，4mn（其中m、n都是正整數），由題意得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44，再根據m、n都是正整數可得 m與n+1是44的整數因子，從而可以求得結果．

（1）由題意得∠BAC是△ABC的好角；

（2）因為經過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A2B2C=∠C

因為∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，

所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C

由此可猜想若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B=n∠C；

（3）因為最小角是4是△ABC的好角，

根據好角定義，則可設另兩角分別為4m，4mn（其中m、n都是正整數）．

由題意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44．

因為m、n都是正整數，所以m與n+1是44的整數因子，

因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．

所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．

所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．

所以該三角形的另外兩個角的度數分別為：4，172；8，168；16，160；44，132；88，88．