Question

【題目】課本中有一道作業題：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題：

（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

Answer 1

【答案】(1)、mm， mm；(2)、40mm，60mm.

【解析】

試題分析：(1)、設PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根據平行得出△APN和△ABC相似，根據線段的比值得出y的值，然后得出邊長；(2)、根據第一題同樣的方法得出y與x的函數關系式，然后求出S與x的函數關系式，根據二次函數的性質得出最大值.

試題解析：(1)、設PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80-y（mm）

∵PN∥BC, ∴= ，△APN∽△ABC ∴ = ∴=

∴= 解得 y= ∴2y=

∴這個矩形零件的兩條邊長分別為 mm， mm

(2)、設PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面積為S ，則AE=80-x（mm）。.

由（1）知= ∴ = ∴ y=

則S=xy===

∵ ∴ S有最大值 ∴當x=40時，S最大=2400（mm2） 此時，y==60 。

∴面積達到這個最大值時矩形零件的兩邊PQ、PN長分別是40 mm ，60 mm。