Question

若直線l：y=x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O′在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式；
（2）將直線l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜45°），得到直線l′，l′交y軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與上述反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形APQO′的面積為9-

3 3

2

時(shí)，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)原點(diǎn)O與O′關(guān)于直線l對(duì)稱求出點(diǎn)O′，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意作出草圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后分別求出梯形O′BPQ的面積與正方形AOBO′的面積，再根據(jù)S_{四邊形APQO′}=S_{梯形O′BPQ的面積}+S_{正方形AOBO′}-S_△AOP，列式計(jì)算即可求出a的值為3

3

，根據(jù)三角函數(shù)求出∠PAO=60°，∠BAO=45°，兩角相減即可得到θ的值．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=0+3=3，
當(dāng)y=0時(shí)，x+3=0，解得x=-3，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（0，3），
∵坐標(biāo)原點(diǎn)O與O′關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴O′（-3，3），
∴3=

k

-3

，
解得k=-9，
∴反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式為：y=-

9

x

；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），
∵PQ∥x軸，
∴a=-

9

x

，
解得x=-

9

a

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-

9

a

，a）；
S_{四邊形APQO′}=S_{梯形O′BPQ的面積}+S_{正方形AOBO′}-S_△AOP=

1

2

×（

9

a

+3）（a-3）+3×3-

1

2

×3×a，
=-

27

2a

+9，
∵四邊形APQO′的面積為9-

3 3

2

，
∴-

27

2a

+9=9-

3 3

2

，
解得a=3

3

，
∴tan∠PAO=

PO

AO

=

3 3

3

=

3

，tan∠BAO=

BO

AO

=

3

3

=1，
∴∠PAO=60°，∠BAO=45°，
θ=∠PAO-∠BAO=60°-45°=15°．
故答案為：15°．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意不規(guī)則四邊形APQO′的面積的表示是解題的關(guān)鍵，也是解本題的難點(diǎn)．