Question

【題目】在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，點E在邊CD上，且DE=1．

（1）感知：如圖①，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F，連接AF，易證：△ADE≌△ECF（不需要證明）；

（2）探究：如圖②，點P在矩形ABCD的邊AD上（點P不與點A、D重合），連接PE，過點E作EF⊥PE，交BC于點F，連接PF．求證：△PDE∽△ECF；

（3）應(yīng)用：如圖③，若EF交AB邊于點F，其他條件不變，且△PEF的面積是3，則AP的長為________．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）2

【解析】

感知:先利用矩形性質(zhì)得: ∠D=∠C=90°,再利用同角的余角相等得: ∠DAE=∠FEC,根據(jù)已知邊的長度計算出AD=CE=3,則由ASA證得: △ADE≌△ECF;
探究:利用兩角相等證明△PDE∽△ECF;
應(yīng)用:作輔助線,構(gòu)建如圖②一樣的相似三角形,利用探究得: △PDE∽△EGF,則,所以,再利用△PEF的面積是3,列式可得:PE·EF=6,兩式結(jié)合可求得PE的長,利用勾股定理求PD,從而得出AP的長.

（1）證明：感知：如圖①，∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DAE+∠DEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠DEA+∠FEC=90°，

∴∠DAE=∠FEC，

∵DE=1，CD=4，

∴CE=3，

∵AD=3，

∴AD=CE，

∴△ADE≌△ECF（ASA）

（2）探究：如圖②，∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DPE+∠DEP=90°，

∵EF⊥PE，

∴∠PEF=90°，

∴∠DEP+∠FEC=90°，

∴∠DPE=∠FEC，

∴△PDE∽△ECF

（3）應(yīng)用：解：如圖③，過F作FG⊥DC于G，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB∥CD，

∴FG=BC=3，

∵PE⊥EF，

∴S△PEF=PEEF=3，

∴PEEF=6，

同理得：△PDE∽△EGF，

∴=，

∴=，

∴EF=3PE，

∴3PE2=6，

∴PE=±，

∵PE＞0，

∴PE=，

在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD==1，

∴AP=AD﹣PD=3﹣1=2.