Question

某養(yǎng)殖專業(yè)戶計劃利用房屋的一面墻修造如圖所示的長方體水池，培育不同品種的魚苗．他已準備可以修高為3m．長30m的水池墻的材料，圖中EF與房屋的墻壁互相垂直，設AD的長為xm．（不考慮水池墻的厚度）
（1）請直接寫出AB的長（用含有x的代數(shù)式表示）；
（2）試求水池的總容積V與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如果房屋的墻壁可利用的長度為10.5m，請利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求V的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意得：AB=30-3x

（2）由（1）知V與x的函數(shù)關系式為：V=3×x（30-3x）=-9x²+90x30-3x＞0，x＜10
∴x的取值范圍是：0＜x＜10

（3）30-3x≤10.5，解得x≥6.5
V=-9x²+90x=-9（x-5）²+225
∵a=-9＜0
∴函數(shù)圖象是第一象限內(nèi)開口向下的拋物線，對稱軸為x=5，
當x≥5時，V隨x的增大而減小
又∵6.5＞5，由左圖可知，
∴當x=6.5時，V取得最大值，
此時V_最大值=-9（x-5）²+225=-9（6.5-5）²+225=204.75．
分析：（1）由題意可以直接寫出AB的長，（2）由題干條件寫出V與x的關系式，并求出x的取值范圍，（3）首先把二次函數(shù)化成頂點坐標式，開口向下，寫出其對稱軸，根據(jù)單調(diào)性求得最大值．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的應用，考查函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性，應用二次函數(shù)解決實際問題比較簡單．