Question

某養殖專業戶計劃利用房屋的一面墻修造如圖所示的長方體水池，培育不同品種的魚苗．他已準備可以修高為3m．長30m的水池墻的材料，圖中EF與房屋的墻壁互相垂直，設AD的長為xm．（不考慮水池墻的厚度）
（1）請直接寫出AB的長（用含有x的代數式表示）；
（2）試求水池的總容積V與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如果房屋的墻壁可利用的長度為10.5m，請利用函數圖象與性質求V的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可以直接寫出AB的長，（2）由題干條件寫出V與x的關系式，并求出x的取值范圍，（3）首先把二次函數化成頂點坐標式，開口向下，寫出其對稱軸，根據單調性求得最大值．
解答：解：（1）由題意得：AB=30-3x（3分）

（2）由（1）知V與x的函數關系式為：V=3×x（30-3x）（5分）=-9x²+90x（6分）30-3x＞0，x＜10（7分）
∴x的取值范圍是：0＜x＜10（8分）

（3）30-3x≤10.5，解得x≥6.5（9分）
V=-9x²+90x=-9（x-5）²+225（10分）
∵a=-9＜0
∴函數圖象是第一象限內開口向下的拋物線，對稱軸為x=5，
當x≥5時，V隨x的增大而減小（11分）
又∵6.5＞5，由左圖可知，
∴當x=6.5時，V取得最大值，（12分）
此時V_最大值=-9（x-5）²+225=-9（6.5-5）²+225=204.75．（13分）
點評：本題主要考查二次函數的應用，考查函數的對稱軸和單調性，應用二次函數解決實際問題比較簡單．