Question

【題目】（1）如圖1，點P是平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點，若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4則S1、S2、S3、S4的關系為S1=S2=S3=S4．請你說明理由；

（2）變式1：如圖2，點P是平行四邊形ABCD內一點，連接PA、PB、PC、PD．若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4，寫出S1、S2、S3、S4的關系式；

（3）變式2：如圖3，點P是四邊形ABCD對角線AC、BD的交點若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4，寫出S1、S2、S3、S4的關系式．請你說明理由．

Answer 1

【答案】（1）理由見解析；（2）S1+S3=S2+S4；（3）S1S3=S2S4；理由見解析

【解析】

（1）根據平行四邊形的對角相互相平分與如果三角形等底等高面積相同，得解；
（2）可以根據△ABD≌△CDB求得；
（3）由△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同與△PAD中AP邊上的高與△PCD中CP邊上的高相同，可得即，即，所以，即．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AP＝CP，

又∵△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同，

∴S△PAB＝S△PBC，

即S1＝S2，

同理可證S2＝S3S3＝S4，

∴S1＝S2＝S3＝S4；

（2）S1＋S3＝S2＋S4；

（3）；

理由：

∵△ABP中AP邊上的高與△BCP中CP邊上的高相同，

∴即，

∵△PAD中AP邊上的高與△PCD中CP邊上的高相同，

∴即，

∴，

∴．