Question

【題目】如圖，在中，是內心，，是邊上一點，以點為圓心，為半徑的經過點，交于點.

（1）求證：是的切線；

（2）連接，若，，求圓心到的距離及的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點到的距離是1，的長度

【解析】

（1）連接OI，延長AI交BC于點D，根據內心的概念及圓的性質可證明OI∥BD，再根據等腰三角形的性質及平行線的性質可證明∠AIO=90°，從而得到結論；

（2）過點O作OE⊥BI，利用垂徑定理可得到OE平分BI，再根據圓的性質及中位線的性質即可求出O到BI的距離；根據角平分線及圓周角定理可求出∠FOI=60°，從而證明△FOI為等邊三角形，最后利用弧長公式進行計算即可.

解：（1）證明：延長AI交BC于D，連接OI，

∵I是△ABC的內心，

∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OI，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠2，

∴OI∥BD，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，

∴∠AIO=∠ADB=90°，

∴AI為的切線；

（2）作OE⊥BI，由垂徑定理可知，OE平分BI，

又∵OB=OF，

∴OE是△FBI的中位線，

∵IF=2，

∴OE=IF==1，

∴點O到BI的距離是1，

∵∠IBC=30°，

由（1）知∠ABI=∠IBC，

∴∠ABI =30°，

∴∠FOI=60°，

又∵OF=OI，

∴△FOI是等邊三角形，

∴OF=OI=FI=2，

∴的長度.