Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A，B兩點，且點B的坐標為（3，0），與y軸交于點C，連接AC，BC，點P是拋物線上在第二象限內的一個動點，點P的橫坐標為a，過點P作x軸的垂線，交AC于點Q．

（1）求A，C兩點的坐標．

（2）請用含a的代數式表示線段PQ的長，并求出a為何值時PQ取得最大值．

（3）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），C（0，4）；（2）a＝﹣2時，PQ有最大值；（3）存在，理由見解析；Q（﹣1，3）或（）

【解析】

（1）將點B的坐標（3，0）代入拋物線解析式可得出c＝4，解方程，得x1＝3，x2＝﹣4，則A（﹣4，0）；

（2）求出直線AC的解析式y＝﹣x+4，設P（a，），則點Q（a，a+4），則PQ可用a表示，由二次函數的性質可求出PQ的最大值；

（3）分BC＝BQ、BC＝CQ、CQ＝BQ三種情況，分別列得出方程求解即可．

（1）把點B的坐標（3，0）代入拋物線解析式得，

，

解得：c＝4，

令y＝0，則，

解得x1＝3，x2＝﹣4，

∴A（﹣4，0），C（0，4）；

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

設直線AC的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直線AC的解析式y＝x+4，

點P的橫坐標為a，P（a，），則點Q（a，a+4），

∴PQ＝＝，

∵，

∴a＝﹣2時，PQ有最大值；

（3）存在，理由：

點A、B、C的坐標分別為（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），

則BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式：y＝mx+n并解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，

設BC的中點為H，由中點坐標公式可得H（），

∴過BC的中點H且與直線BC垂直直線的表達式為：y＝，

①當BC＝BQ時，如圖1，

∴BC＝BQ＝5，

設：QM＝AM＝n，則BM＝7﹣n，

由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，

解得：n＝3或4（舍去4），

故點Q1（﹣1，3）；

②當BC＝CQ時，如圖1，

∴CQ＝5，

則AQ＝AC﹣CQ＝4，

∴，

∴，

③當CQ＝BQ時，

聯立直線AC解析式y＝x+4和y＝，

解得x＝﹣（不合題意，舍去），

綜合以上可得點Q的坐標為：Q（﹣1，3）或（）