Question

【題目】[提出問題]正多邊形內任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的邊及內角有什么關系？

[探索發現]

為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形-------正三角形入手

如圖①，是正三角形，邊長是是內任意一點，到各邊距離分別為，確定的值與的邊及內角的關系．

如圖②，五邊形是正五邊形，邊長是是正五邊形內任意一點，到五邊形各邊距離分別為， 參照的探索過程，確定的值與正五邊形的邊及內角的關系．

類比上述探索過程：

正六邊形(邊長為)內任意一點 到各邊距離之和

正八邊形(邊長為)內任意一點到各邊距離之和

[問題解決]正邊形(邊長為)內任意-一點P到各邊距離之和

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），；[問題解決]

【解析】

（1）設的面積為，顯然，過點作，垂足為，易知，可知，根據面積相等可得，化簡可得.

（2）設正五邊形的面積為，顯然，設正五邊形的中心為，連接，它們將正五邊形分成五個全等的等腰三角形，過點作，垂足為，易知，同樣表示出五邊形的面積，再利用面積相等法即可求得.

（3）根據（1）（2）中發現的規律可得答案.

[問題解決]總結上面的規律即可.

解：（1）設的面積為，

顯然

設的中心(正多邊形各邊垂直平分線的交點，又稱正多邊形的中心)為，

連接，

它們將分成三個全等的等腰三角形，

過點作，垂足為，易知

所以

那么，

所以

解：設正五邊形的面積為，

顯然

設正五邊形的中心為，

連接，

它們將正五邊形分成五個全等的等腰三角形，

過點作，

垂足為，易知

所以

那么

所以

若圖形為正六邊形，則其面積可表示為S=，也可表示為，

根據面積相等法可得，即

同理得：當圖形為正八邊形時，.

故答案為：，；

【問題解決】

根據上面題目的規律可得正邊形(邊長為)內任意一點P到各邊距離之和=，

故答案為：