Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AC平分∠DAB，直線DC與AB的延長線相交于點P，AD與PC延長線垂直，垂足為點D，CE平分∠ACB，交AB于點F，交⊙O于點E．

（1）求證：PC與⊙O相切；

（2）求證：PC＝PF；

（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE＝5．

【解析】

（1）連接OC，根據角平分線的定義、等腰三角形的性質得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根據平行線的性質得到OC⊥PD，根據切線的判定定理證明結論；

（2）根據圓周角定理、三角形的外角的性質證明∠PFC＝∠PCF，根據等腰三角形的判定定理證明；

（3）連接AE，根據正切的定義求出BC，根據勾股定理求出AB，根據等腰直角三角形的性質計算即可．

（1）證明：連接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠CAB，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠CAB，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴OC∥AD，又AD⊥PD，

∴OC⊥PD，

∴PC與⊙O相切；

（2）證明：∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE，

∴，

∴∠ABE＝∠ECB，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°，

∵∠BCP+∠OCB＝90°，

∴∠BCP＝∠BAC，

∵∠BAC＝∠BEC，

∴∠BCP＝∠BEC，

∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF；

（3）解：連接AE，

在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，

∴BC＝6，

由勾股定理得，AB＝，

∵，

∴AE＝BE，

則△AEB為等腰直角三角形，

∴BE＝AB＝5．