Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k為常數(shù)．
（1）求證：無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；
（2）已知函數(shù)y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，求k的取值范圍；
（3）若原方程的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求k的最大整數(shù)值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，
∴無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根
（2）解：∵二次函數(shù)y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，
∵二次項(xiàng)系數(shù)a=1，
∴拋物線開(kāi)口方向向上，
∵△=（k﹣3）2+12＞0，
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1 ， x2 ，
∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范圍是k≤1
（3）解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1 ， x2 ，
根據(jù)題意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜ ．
則k的最大整數(shù)值為2
【解析】 （1）先計(jì)算b2-4ac，再將b2-4ac的值轉(zhuǎn)化為一個(gè)的代數(shù)式的平方加上一個(gè)正數(shù)，即可證出結(jié)論。
（2）根據(jù)此拋物線的圖像不經(jīng)過(guò)第三象限，而拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，可知拋物線的頂點(diǎn)在x軸的下方（第四象限）且圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)可知拋物線開(kāi)口向上，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1 ， x2 ， 根據(jù)x1+x2＞0，x1x2≥0，建立關(guān)于k的不等式組，求解即可。
（3）設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1 ， x2 ， 根據(jù)已知原方程的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，建立不等式（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，，再將不等式轉(zhuǎn)化為含有x1x2和x1+x2的式子，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于k的不等式，求解即可。