Question

（1）如果△ABC的面積是S，E是BC的中點，連接AE（圖1），則△AEC的面積是

 

；
（2）在△ABC的外部作△ACD，F是AD的中點，連接CF（圖2），若四邊形ABCD的面積是S，則四邊形AECF的面積是

 

；

（3）若任意四邊形ABCD的面積是S，E、F分別是一組對邊AB，CD的中點，連接AF，CE（圖3），則四邊形AECF的面積是

 

．
拓展與應用
（1）若八邊形ABCDEFGH的面積是100，K，M，N，O，P，Q分別是AB，BC，CD，EF，FG，GH的中點，連接KH，MG，NF，OD，PC，QB（圖4），則圖中陰影部分的面積是

 

；
（2）四邊形ABCD的面積是100，E，F分別是一組對邊AB，CD上的點，且AE=

1

3

AB，CF=

1

3

CD，連接AF，CE（圖5），則四邊形AECF的面積是

 

．

（3）?ABCD的面積為2，AB=a，BC=b，點E從點A出發沿AB以每秒v個單位長的速度向點B運動．點F從點B出發沿BC以每秒

bv

a

個單位的速度向點C運動．E、F分別從點A，B同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．請問四邊形DEBF的面積的值是否隨著時間t的變化而變化？若不變，請寫出這個值

 

，并寫出理由；若變化，說明是怎樣變化的．

Answer 1

分析：（1）三角形的中線把三角形分為兩個面積相等的三角形，其中一個小三角形等于大三角形面積的一半；
（2）由（1）易得構成四邊形AECF的兩個三角形的面積都等于所在大三角形的面積的一半，那么四邊形AECF的面積等于四邊形ABCD的面積的一半；
（3）連接AC可得（2）中的圖形，那么結論和（2）相同；
拓展與應用
（1）連接BG，CF，那么根據上面得到的結論，陰影部分的面積等于所在的四邊形的面積的一半，可得到陰影部分面積之和等于八邊形的一半；
（2）連接AC后，△AEC和△BEC的高相等，那么它們面積的比等于底邊的邊，那么S_△AEC=

1

3

S_△ABC，同理可得S_△AFC=

1

3

S_△ACD，相加后可得陰影部分面積=

1

3

S_{四邊形ABCD}；
（3）平行四邊形被對角線分得的兩個三角形的面積相等．

解答：解：（1）△AEC的面積是

1

2

S；
（2）四邊形AECF的面積是

1

2

S；
（3）四邊形AECF的面積是

1

2

S．
拓展與應用（1）圖中陰影部分的面積是50；
（2）四邊形AECF的面積是

100

3

；
（3）這個值是1；連接BD．
∵S_△BED=

a-v

a

S_△ABD，S_△BFD=

bv

ab

S_△BCD．
∴S_△BED+S_△BFD=

a-v

a

S_△ABD+

bv

ab

S_△BCD，
∵S_△ABD=S_△BCD，
∴S_△BED+S_△BFD=S_△ABD=1．

點評：本題主要用到的知識點為：高相等，三角形面積的比就等于底的比．平行四邊形被對角線分得的兩個三角形的面積相等．