Question

【題目】小明學習完《相似三角形》一章后，發現了一個有趣的結論：在兩個不相似的直角三角形中，分別存在經過直角頂點的一條直線，把直角三角形分成兩個小三角形后，如果第一個直角三角形分割出來的一個小三角形與第二個直角三角形分割出來的一個小三角形相似，那么分割出來的另外兩個小三角形也相似．他把這樣的兩條直線稱為這兩個直角三角形的相似分割線．如圖1、圖2，直線CG、DH分別是兩個不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割線，CG、DH分別與斜邊AB、EF交于點G、H，如果△BCG與△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，設AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割線可知，△AGC∽△DHE，但要先得出兩個相似三角形的邊或角是如何對應的，再根據相似三角形的性質列出比例式，解得x值即可．

解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理得：BC＝4，

∵△BCG∽△DFH，

∴＝，

已知DF＝8，設AG＝x，則BG＝5﹣x，

∴＝，

∴DH＝10﹣2x，

∵△BCG∽△DFH，

∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，

∴∠AGC＝∠DHE，

∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，

∴∠A＝∠EDH，

∴△AGC∽△DHE，

∴＝，

又DE＝4，

∴＝，

解得：x＝3，

經檢驗，x＝3是原方程的解，且符合題意．

∴AG＝3．

故答案為：3．