Question

【題目】如圖，有一拱橋的橋拱是圓弧形，已知橋拱的水面跨度AB（弧所對的弦的長）為8米，拱高CD（弧的中點到弦的距離）為2米．

（1）求橋拱所在圓的半徑長；

（2）如果水面AB上升到EF時，從點E測得橋頂D的仰角為α，且cotα＝3，求水面上升的高度．

Answer 1

【答案】（1）橋拱所在圓的半徑長為5米；（2）水面上升的高度為1米

【解析】

（1）根據點D是 中點， 知C為AB中點，聯結OA，設半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半徑．

（2） 設OD與EF相交于點G，聯結OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，進而找出EG＝3DG，設水面上升的高度為x米，即CG＝x，則DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根據勾股定理求出x即可．

解：（1）∵點D是 中點，，

∴AC＝BC，DC經過圓心，

設拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，

∵AB＝8，

∴AC＝BC＝4，

聯結OA，設半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，

∵OD⊥AB，

∴∠ACO＝90°，

在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，

∴R2＝（R﹣2）2+42，

解之得R＝5．

答：橋拱所在圓的半徑長為5米．

（2）設OD與EF相交于點G，聯結OE，

∵EF∥AB，OD⊥AB，

∴OD⊥EF，

∴∠EGD＝∠EGO＝90°，

在Rt△EGD中， ，

∴EG＝3DG，

設水面上升的高度為x米，即CG＝x，則DG＝2﹣x，

∴EG＝6﹣3x，

在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，

∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，

化簡得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，

答：水面上升的高度為1米．