Question

已知⊙O₁的半徑為R，周長為C．
（1）在⊙O₁內任意作三條弦，其長分別是l₁l₂l₃，求證：l₁+l₂+l₃＜C；
（2）如圖，在直角坐標系xOy中，設⊙O₁的圓心為O₁（R，R）．
①當直線l：y=x+b（b＞0）與⊙O₁相切時，求b的值；
②當反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象與⊙O₁有兩個交點時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據圓的任意一條弦都小于或等于圓的直徑解答；
（2）①設直線與圓相切于點M，連接O₁M，則O₁M⊥l，過點O₁作直線NH⊥x軸，與l交于點N，與x軸交于點H，因為直線的k=1，所以直線與x軸的夾角等于45°，△OMN是等腰直角三角形，點N的坐標即可表示出來，再把點N的坐標代入直線解析式，即可求出b值；
②利用反比例函數圖象關于直線y=x對稱，作直線y=x的圖象與圓有兩交點，根據直線與x軸的夾角是45°，用圓的半徑表示出兩個交點坐標，分別代入反比例函數表達式求出k的值，k的取值就在這兩個數值之間．

解答：（1）證明：∵l₁≤2R，l₂≤2R，l₃≤2R，
∴l₁+l₂+l₃≤3×2R＜π×2R=C，（2分）
因此，l₁+l₂+l₃＜C．（3分）

（2）解：①如圖，根據題意可知⊙O₁與x軸，y軸分別相切，
設直線l與⊙O₁相切于點M，
則O₁M⊥l，過點O₁作直線NH⊥x軸，與l交于點N，與x軸交于點H，
又∵直線l與x軸，y軸分別交于點E（-b，0），F（0，b），
∴OE=OF=b，
∴∠NEO=45°，
∴∠ENO₁=45°，
∴∠NO₁M=45°，
在Rt△O₁MN中，O₁N=O₁M÷sin45°=

2

R．
∴點N的坐標為N（R，

2

R+R），（4分）
把點N坐標代入y=x+b得：

2

R+R=R+b，
解得：b=

2

R．（5分）

②如圖，設經過點O，O₁的直線交⊙O₁于點A，D，則由已知，直線OO₁；
y=x是圓與反比例函數圖象的對稱軸，當反比例函數y=

k

x

的圖象與⊙O₁直徑AD相交時（點A，D除外），
則反比例函數y=

k

x

的圖象與⊙O₁有兩個點．
過點A作AB⊥x軸交x軸于點B，過O₁作O₁C⊥x軸于點C，
OO₁=O₁C÷sin45°=

2

R，OA=

2

R+R，
所以OB=AB=OA•sina45°=（

2

R+R）•

2

2

=R+

2

2

R，
因此點A的坐標是A（R+

2

2

R，R+

2

2

R），
將點A坐標代入y=

k

x

，
解得：k=（

3

2

+

2

）R²；（6分）
同理可求得點D的坐標為D（R-

2

2

R，R-

2

2

R），
將點D的坐標代入y=

k

x

，解得：k=（

3

2

-

2

）R²（7分）
所以當反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象與⊙O₁有兩個交點時，
k的取值范圍是：（

3

2

-

2

）R²＜k＜（

3

2

+

2

）R²．（8分）

點評：本題考查：（1）直徑是圓中最長的弦，其它任意弦都小于或等于圓的直徑；
（2）一次函數圖象的性質和反比例函數圖象的性質，結合圓的特點直線的k等于1時與x軸的夾角等于45°是解本題的關鍵，也是解決本題的突破口．