Question

【題目】中，，，點為直線上一動點（點不與，重合），以為邊在右側作正方形，連接.

（1）觀察猜想：如圖1，當點在線段上時，

①與的位置關系為：______.②，，之間的數量關系為：______；（將結論直接寫在橫線上）

（2）數學思考：如圖2，當點在線段的延長線上時，（1）中的結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明.

（3）拓展延伸：如圖3，當點在線段的延長線上時，延長交于點，連接.若已知，，請直接寫出的長.

Answer 1

【答案】觀察猜想：（1）①； ②；數學思考：（2）結論①仍然成立，見解析，結論②變為，見解析；拓展延伸：（3）.

【解析】

（1）根據正方形的性質證明△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）根據正方形的性質證明△DAB≌△FAC，再根據等腰直角三角形的性質即可求解；

（3）分別過點、作垂線，根據（1）（2）的結論，再證明，根據勾股定理即可求解.

解：（1）在正方形ADEF中，AD=AF,

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，故△DAB≌△FAC

∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即

②∵△DAB≌△FAC

∴CF=BD,

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD

（2）結論①仍然成立，結論②變為.

證明：∵四邊形是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴.

又，

∴.

∴，，

∵，

∴.

設與交于點，則，

在中，，

∴，

∴即

（3）分別過點、作垂線，類比（1）（2）結論可知，，，

又AD=DE,∠AND=∠DHE=90°，

∵∠NAD+∠ADN=90°，∠EDH+∠ADN=90°，

∴∠NAD=∠EDH

∴

∴，，，，

由勾股定理得