Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F．過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點E，過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G．

（1）求證：△EFD為等腰三角形；

（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）連接OD，只要證明∠EFD=∠EDF即可解決問題．

（2）先求得EF=1，設DE=EF=x，則OF=x+1，在Rt△ODE中，根據勾股定理求得DE=4，OE=5，根據切線的性質由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，根據相似三角形對應邊成比例即可求得．

解：（1）證明：連接OD，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∵OC⊥AB，

∴∠COF=90°，

∴∠OCD+∠CFO=90°，

∵GE為⊙O的切線，

∴∠ODC+∠EDF=90°，

∵∠EFD=∠CFO，

∴∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED．

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，

∴OF=1，

∵∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，

∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG為⊙O的切線，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴=，即=，

∴AG=6．