Question

【題目】如圖,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ繞點C旋轉，在整個旋轉過程中，過點A作AD⊥CP，垂足為D，直線AD交CQ于E．

（1）如圖①，當∠PCQ在∠ACB內部時，求證：AD+BE=DE；

（2）如圖②,當CQ在∠ACB外部時,求證AD-BE=DE；

（3）在（1）的條件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的長．（直接寫結果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）24

【解析】試題分析：（1）延長DA到F，使DF=DE，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△BCE全等，根據全等三角形的即可證明AF=BE，從而得證；
（2）在AD上截取DF=DE，然后根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△BCE全等，根據全等三角形的即可證明AF=BE，從而得到AD=BE+DE；
（3）根據等腰直角三角形的性質求出CD=DF=DE，再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出AF=2AD，然后求出AD的長，再根據AE=AD+DE代入數據進行計算即可得解．

試題解析：

（1）如圖①，延長DA到F，使DF=DE，
∵CD⊥AE，∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，
又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中， ，

∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，
∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；

（2）如圖②，在AD上截取DF=DE，
∵CD⊥AE，∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，
又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中， ，

∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；

（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6，
∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，
∴AD=×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．