Question

如圖,已知二次函數y＝ax²＋bx＋c的圖象的頂點為M（2,1）,且過點N（3,2）．

（1）求這個二次函數的關系式;
（2）若一次函數y＝－x－4的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,P為拋物線上的一個動點,過點P作PQ∥y軸交直線AB于點Q,以PQ為直徑作圓交直線AB于點D．設點P的橫坐標為n,問:當n為何值時,線段DQ的長取得最小值？最小值為多少？

Answer 1

（1）這個二次函數的關系式為y＝(x－2)²＋1;（2）當n＝時,DQ取得最小值,為．

試題分析:（1）由于頂點為M（2,1）,故設這個二次函數的關系式為y＝a(x－2)²＋1,又因為過點N（3,2）,代入解析式即可求出a的值,從而得到解析式;
（2）用含有n 得代數式表示出P,Q坐標,求出PQ最小值,再證得△DPQ∽△OAB,根據相似三角形性質即可求得DQ的最小值．
試題解析:（1）設這個二次函數的關系式為y＝a(x－2)²＋1．
把x＝3,y＝2代入得a＋1＝2,∴a＝1．
∴這個二次函數的關系式為y＝(x－2)²＋1．
（2）由題意知P（n,n²－4n＋5）,Q（n,－n－4）．
∴PQ＝n²－4n＋5－(－n－4)＝n²－n＋9＝(n－)²＋． 
∴當n＝時,PQ取得最小值,為．
易證△DPQ∽△OAB,
∴,
∵一次函數y＝－x－4的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,
∴OB=4,OA=3,AB==5
∴DQ＝PQ=．
∴當n＝時,DQ取得最小值,為．
考點:二次函數與一次函數綜合．