Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，0為坐標原點，⊙E過點O．與x軸、y軸分別交于B、A兩點，點E坐標為（-2，2）F為弧A0的中點．點B，D關于F點成中心對稱．　
（1）求點c的坐標；
（2）點P從B點開始在折線段B-A-D上運動：點Q從B點開始在射線B0上運動，兩點的運動速度均為2個長度單位每秒，設運動時間為t．△POQ的面積為y，求y與t之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，若y=S_ABCD，求直線PQ與⊙E相交所得的弦長．

Answer 1

（1）解：過E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，連接OE，
由勾股定理得：OE=4=AE=BE，
∴AB=8，∠BAO=30°，∠ABO=60°，OB=4，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=90°=∠BFC，
∵F為弧OA的中點，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中
，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，∠ACB=∠ABC=60°，BC=AB=8，
∴OC=4，
∴C的坐標是（4，0）
（2）當Q在BO上時，P在AB上，
y=×OQ×H_OQ=（4-2t）•t=-t²+2t（0＜t＜2）；
當Q在OC上時，P在AB上，
同法可求y=OQ×H_OQ=×（2t-4）×t=t²-2t（2＜t≤4）；
當Q在OC的延長線上時，
y=OQ×AO=×（2t-4）×4=4t-8（4＜t≤8）；
（3）S_{平行四邊形ABCD}=8×4=32，
①-t²+2t=×32，
解得：t=或
②t²-2t=×32，
方程的解不在2＜t≤4內，
③4t-8=×32，
方程的解不在4＜t≤8內，過E作EK⊥弦MN于K，
∴當t=時，EP=4-×2=3，∠EPM=60°，
PK=，EK=，
連接ME，由勾股定理得：MK=，
弦MN=2MK=；
當t=時，
同法可求弦長是；
分析：（1）過E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，連接OE，根據圓周角定理求出∠ABF=∠CBF，∠AFB=∠CFB=90°，根據ASA證△ABF≌△CBF，求出AB=BC即可；
（2）分為三種情況：當Q在BO上時，P在AB上，當Q在OC的延長線上時，當Q在OC的延長線上時，根據三角形面積公式求出即可；
（3）求出平行四邊形的面積，根據已知得出三個方程，求出方程的解，注意看是否在范圍內，過E作EK⊥弦MN于K，求出EK、根據勾股定理求出MK即可；
點評：本題綜合考查了圓周角定理、勾股定理、三角形的面積、點的坐標、全等三角形的性質和判定，垂徑定理等知識點，此題是一道難度較大的題目，綜合性比較強，對學生提出了較高的要求，分類討論思想的運用．