Question

【題目】（題文）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+2與坐標軸分別交于A，B兩點，過點B作BD∥x軸，拋物線y=﹣x2+bx+c經過B，D兩點，且對稱軸為x=2，設x軸上一動點P（n，0），過點P分別作直線BD，AB的垂線，垂足分別為M，N．

（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；

（2）設四邊形ABCD的面積為S四邊形ABCD，當n為何值時，=；

（3）是否存在點P（n，0），使得△PMN為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+2，（2，4）；（2）當n=﹣2或n=6時，=；（3）存在P（﹣2，0）

【解析】

（1）根據對稱軸公式以及點坐標，構建方程組即可解決問題；

（2）分兩種情形分別構建方程即可解決問題；

（3）分三種情形：①，②，③，分別求解解決問題.

（1）當x=0時，直線y=﹣x+2=2，即B（0，2）

當y=0時，﹣x+2=0，解得x=2，即A（2，0），

將B點坐標代入函數解析式，對稱軸，得

，

解得，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2，

當x=2時，y=﹣×22+2×2+2=4，

頂點坐標（2，4）；

（2）如圖1，過N作NH⊥x軸于H，

∵BD∥x軸，拋物線的對稱軸x=2，連接AC，則AC⊥BD，

∴S四邊形ABCD=×4×4=8，

∵=，

∴S△PMN=2，又∵N在直線y=﹣x+2上，

∴∠NPH=45°，且S△PMN=PHPM，

∵BD∥x軸，

∴PM=2，當點P在A點右側時，2+PH=n，即PH=，

∴S△PMN=PHPM=××2=2解得n=6；

當點P在A點左側時，2﹣PH=n，即PH=，

∴S△PMN=PHPM=××2=2，解得n=﹣2，

綜上所述，當n=﹣2或n=6時， =；

（3）存在．①如圖 2，當PM=PN時，

∵PN=PM=2，PH=，n=2，

∴p（2+2，0）或P（2﹣2，0）；

②如圖3，當MN=PN時，

∵MN⊥PN，

∴△PMN是等腰直角三角形，且PM=2，

∴PN=，

∴P（0，0）；

③當PM=MN時，

∵MN=PM=2，MN⊥PM，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∴MB=2，∴P（﹣2，0）．