Question

【題目】已知二次函數的圖象與軸分別交于點、(在左側)，與軸交于點，若將它的圖象向上平移4個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線的頂點坐標為.

(1)原拋物線的函數解析式是 .

(2)如圖①，點是線段下方的拋物線上的點，求面積的最大值及此時點的坐標;

(3)如圖②，點是線段上一動點，連接，在線段上是否存在這樣的點，使為等腰三角形且為直角三角形?若存在，求點的坐標;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；（2）最大值，點P的坐標(,)；(3)點M的坐標：(,)或(,)

【解析】

(1)根據題意可推導出原拋物線的頂點坐標，然后再求出拋物線的解析式；

(2)過P作x軸的垂線交BC于N，則△PBC的面積分成△PNC和△PNB的面積之和，設出P的坐標，則△PBC的面積與P的坐標可建立函數關系式，進行求解即可；

(3)分類討論并設出M的坐標，表示出MQ和MC的長，建立方程，求解即可.

解：(1)由題知，原拋物線的頂點坐標為(3,-4)

設原拋物線的解析式為

則

∴即

（2）如圖，過P作x軸的垂線交BC于N

令，則

∴即B(5,0)，A(1,0)

令，則

∴C(0,5)

∴直線BC的解析式為

設P(,),則N(，)

∴PN=

∴

由二次函數性質可知：當時，有最大值，且最大值為

此時P(,)

（3）①如圖所示，當∠BQM=90°時

設Q(,0)，則M(,)

則BQ=MQ=

∴BM=

又BC=

∴CM=

∵△CMQ為等腰三角形

∴=

解得：

此時M(,)

②如圖所示：當∠BMQ=90°時

若△CMQ為等腰三角形，則△BMQ也為等腰三角形，則CM=BM=QM

此時M為BQ的中點

由(1)知：B(5,0)，C(0,5)

∴M(,)

綜上所述，滿足要求的點M的坐標為(,)或M(,)