Question

把兩個正方形紙片在相同的頂點A處釘上一個釘子，然后旋轉小正方形AEFG．已知大正方形的邊長為4，小正方形的邊長為a（a≤2）．（以下答案可以用含a的代數式表示）
（1）把小正方形AEFG繞A點旋轉，讓點F落在正方形ABCD的邊AD上得圖1，求△BDF的面積S_△BDF；
（2）把小正方形AEFG繞A點按逆時針方向旋轉45°得圖2，求圖中△BDF的面積S_△BDF；
（3）把小正方形AEFG繞A點旋轉任意角度，在旋轉過程中，設△BDF的面積為S_△BDF，試求S_△BDF的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，△BDF的面積可由△ABD、ABF的面積差得到，可分別求出△ABD、△ABF的面積，然后作差即可．
（2）思路同（1），△BDF的面積，可由△ABD、梯形AGFD的面積和減去△ABF的面積求得，即可得解．
（3）過F作BD的垂線，設垂足為H，由于BD是定值，△BDF的面積最大，則FH最大，△BDF的面積最小，則FH最小；可據此畫出圖形，求出兩種情況下△FDH的面積，從而得到其取值范圍．

解答：解：
（1）S_△BDF=S_△ABD-S_△ABF，
∵小正方形的邊長為a，
∴AF=

2

a，
∴S_△BDF=S_△ABD-S_△ABF，
=4×4×

1

2

-

1

2

×4×

2

a=8-2

2

a．

（2）如圖1，S_△BDF=S_△ABD+S_梯形AGFD-S_△BGF=

1

2

×4×4+

1

2

×a（4+a）-

1

2

×a（4+a）=8．

（3）如圖2，作FH⊥BD于H點，連接AF．則S_△BDF=

1

2

×BD×FH，
因為小正方形AEFG繞A點旋轉任意角度，所以點F離線段BD的距離是變化的，即FH的長度是變化的．
由于BD得長度是定值，所以當FH取得最大值時S_△BDF最大，當FH取得最小值時S_△BDF最小．
所以當點F離BD最遠時，FH取得最大值，此時點F、A、H在同一條直線上（如圖3所示）；
當點F離BD最近時，FH取得最小值，此時點F、A、H也在同一條直線上（如圖4所示）．
在圖3中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×4

2

（2

2

+

2

a）=8+4a，
在圖4中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×4

2

（2

2

-

2

a）=8-4a，
∴S_△BDF的取值范圍是：8-4a≤S_△BDF≤8+4a．

點評：此題主要考查了正方形的性質、圖形面積的求法以及圖形的旋轉變換，（3）題中，正確地作出輔助線，并判斷出△BDF的面積與FH的關系，是解決問題的關鍵．