Question

已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，A是弧BD的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E．
（1）求證：AB•DA=CD•BE；
（2）若點E在CB延長線上運動，點A在弧BD上運動，使切線EA變為割線EFA，其它條件不變，問具備什么條件使原結論成立？（要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）點A是弧BD的中點，根據弦切角定理和圓周角定理知∠1=∠3，由圓內接四邊形的性質知∠ABE=∠D，于是有△ABE∽△CDA?

AB

CD

=

BE

DA

?AB•DA=CD•BE；
（2）要使結論仍然成立，則應有△ABE∽△CDA，故可使

BF

=

DA

．當

BF

=

DA

時有∠EAB=∠ACD，而由圓內接四邊形的性質知∠ABE=∠ADC，故有△ABE∽△CDA，得

AB

CD

=

BE

DA

?AB•DA=CD•BE

解答：（1）證明：連接AC
∵A是

BD

的中點，
∴

AB

=

AD

．
∵EA切⊙O于點A，點C在⊙O上，
∴∠1=∠3=∠2
∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
∴

AB

CD

=

BE

DA

∴AB•DA=CD•BE．

（2）解：
如圖，具備條件

BF

=

DA

（BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD等），使原結論成立

點評：本題利用了弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質求解．