Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點E．

（1）求證：直線CD為⊙O的切線；

（2）當AB＝2BE，且CE＝時，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2），AD＝．

【解析】

試題（1）連接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質得到∠OCA=∠CAB，接著利用平行線的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線；

（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，設BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出關于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函數的定義即可求解．

試題解析：(1)連接OC

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC＝∠CAB

∵OA＝OC

∴∠OCA＝∠CAB

∴∠OCA＝∠DAC

∴AD∥CO

∵CD⊥AD

∴CD⊥AD

∴CD為⊙O的切線；

（2）∵AB＝2BO ， AB＝2BE

∴BO＝BE＝CO

設BO＝BE＝CO＝x ，

∴OE＝2x

在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2， x2＋()2＝(2x)2

∴x＝1

∴AE＝3 ，∠E＝30° ，

∴AD＝．