Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系x0y中，點A（0，2），B（1，0），C（﹣4，0）點D為射線AC上一動點，連結BD，交y軸于點F，⊙M是△ABD的外接圓，過點D的切線交x軸于點E．

（1）判斷△ABC的形狀；

（2）當點D在線段AC上時，

①證明：△CDE∽△ABF；

②如圖2，⊙M與y軸的另一交點為N，連結DN、BN，當四邊形ABND為矩形時，求tan∠DBC；

（3）點D在射線AC運動過程中，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）①證明見解析，②；（3）或

【解析】試題分析：（1）已知三個點的坐標，可以求出相應線段的長度，運用三角函數可以證明∠ACO=∠BAO，進一步證明∠BAC=90°；

（2）只需證明∠CDE=∠ABD，∠DCE=∠BAF，即可證明相似；

當四邊形ABND為矩形時，根據直角三角形AOB和直角三角形ABN相似，可求AN長度，進一步求出OM，運用三角函數求解即可；

（3）根據點D在線段AC上，和線段AC的延長線上分別討論求解；

試題解析：

解：由點A（0，2），B（1，0），C（﹣4，0）可知：OA=2，OC=4，OB=1，

在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，根據勾股定理可求：AC= =2，

AB==．

（1）在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，tan∠ACO=，tan∠BAO=，所以∠ACO=∠BAO，

∵∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BAO+∠CAO=90°，∠BAC=90°，

∴△ABC是直角三角形．

（2）①由（1）知：∠BAC=90°，∴BD是圓M的直徑，

∵DE是圓M的切線，∴∠BDE=90°．

∴∠CDE+∠ADB=90°，又∠ADB+∠ABD=90°，∴∠CDE=∠ABD，

∵∠DCE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAF=90°，∴∠DCE=∠BAF

∴△CDE∽△ABF．

②當四邊形ABND為矩形時，∵∠ABN=90°，∴AN是圓的直徑，由OB是直角三角形ABN的斜邊上的高線，由∠BAO=∠BA0，∠BOA=∠ABN=90°，

∴△AOB∽△ABN，

∴， ∴AB2=OA×AN，

∵OA=2，AB=，可求：AN=，

∴ON=，OM=MN﹣ON=，

在直角三角形OBN中，

tan∠DBC==．

（3）若點D 在線段AC上，

如圖2：由①知△CDE∽△ABF可得： ，AC=2，

由，可得：CD=，AD=，

在直角三角形ABD中，由勾股定理可求：BD==，

∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，

∴△BFO∽△BED，

∴，

設：DE=2x，則BF=3x，由勾股定理得：OF==，

∴，解得： ，

∴DE=，BF=，DF=BD﹣DF=，

∴=，

若點D在線段AC的延長線上，

如圖3：∵DE是圓M的切線，

∴∠BDE=90°

∴∠EDC+∠CDB=90°

∵∠ABD+∠CDB=90°

∴∠EDC=∠ABD，

∵∠DEB+∠DBE=90°，∠DBE+∠OFB=90°

∴∠DEB=∠OFB，

∴△CDE∽△ABF，可得： ，AC=2，

由，可得：CD=，∴AD=AC+CD=，

由勾股定理得：BD==，

∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，

∴△BFO∽△BED，

∴，

設：DE=2x，則BF=3x，

由勾股定理得：OF==，

∴，解得： ，

∴DE=2x=，BF=3x=，DF=BD﹣DF=，

∴=，

綜上所述： 的值是或．

圖3