Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM上一點，EF⊥AM，垂足為F，交AD延長線于點E，交DC于點N．

（1）求證：△ABM∽△EFA；

（2）若AB＝12，BM＝6，F為AM的中點，求DN的長；

（3）若AB＝12，DE＝1，BM＝5，求DN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DN＝；（3）DN＝．

【解析】

（1）由正方形的性質得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出結論；

（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DN的長；

（3）根據余角的性質得到∠BAM＝∠E，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，

∴∠AMB＝∠EAF，

又∵EF⊥AM，

∴∠AFE＝90°，

∴∠B＝∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝6，

∴AM＝＝6，AD＝12，

∵F是AM的中點，

∴AF＝AM＝3，

∵△ABM∽△EFA，

∴＝，

即＝，

∴AE＝15，

∴DE＝AE﹣AD＝3，

∵∠EDN＝∠EFA＝90°，∠E＝∠E，

∴△AEF∽△NED，

∴＝，

∵EF＝＝6，

∴DN＝；

（3）解：∵∠B＝∠AFE＝∠BAD＝90°，

∴∠BAM+∠EAF＝∠EAF+∠E＝90°，

∴∠BAM＝∠E，

∴△ABM∽△EDN，

∴，

即，

∴DN＝．