Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A2B2 C2C1…按這樣的規律進行下去，第3個正方形的面積為

 

；第n個正方形的面積為

 

（用含n的代數式表示）．

Answer 1

分析：根據相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，繼而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理計算出正方形的邊長；最后利用正方形的面積公式計算三個正方形的面積，從中找出規律．

解答：解：設正方形的面積分別為S₁，S₂…，S_n，
根據題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根據勾股定理，得：AD=

5

，tan∠ADO=

OA

OD

=

1

2

，
∵tan∠BAA₁=

BA1

AB

=tan∠ADO，
∴BA₁=

1

2

AB=

5

2

，
∴CA₁=

5

+

5

2

，
同理，得：C₁A₂=

5

2

×（1+

1

2

）
由正方形的面積公式，得：S₁=（

5

）²，
S₂=（

5

）²×（1+

1

2

）²，
S₃=（

5

）²×（1+

1

2

）⁴=5×（

3

2

）⁴，
由此，可得S_n=（

5

）²×（1+

1

2

）^2（n-1）=5×（

3

2

）^2n-2．
故答案為：5×（

3

2

）⁴；5×（

3

2

）^2n-2．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質等知識．解此題的關鍵是找到規律S_n=（

5

）²×（1+

1

2

）^2（n-1）=5×（

3

2

）^2n-2．