Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸相交于A，B兩點，并與直線交于B，C兩點，其中點C是直線與y軸的交點，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）證明：△ABC為直角三角形；

（3）△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） y=x2-x-2．（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由直線y=x-2交x軸、y軸于B、C兩點，則B、C坐標可求．進而代入拋物線y=ax2-x+c，即得a、c的值，從而有拋物線解析式．

（2）求證三角形為直角三角形，我們通常考慮證明一角為90°或勾股定理．本題中未提及特殊角度，而已知A、B、C坐標，即可知AB、AC、BC，則顯然可用勾股定理證明．

（3）在直角三角形中截出矩形，面積最大，我們易得兩種情形，①一點為C，AB、AC、BC邊上各有一點，②AB邊上有兩點，AC、BC邊上各有一點．討論時可設矩形一邊長x，利用三角形相似等性質表示另一邊，進而描述面積函數．利用二次函數最值性質可求得最大面積．

試題解析：（1）∵直線y=x-2交x軸、y軸于B、C兩點，

∴B（4，0），C（0，-2），

∵y=ax2-x+c過B、C兩點，

∴，

解得 ，

∴y=x2-x-2．

（2）如圖1，連接AC，

∵y=x2-x-2與x負半軸交于A點，

∴A（-1，0），

在Rt△AOC中，

∵AO=1，OC=2，

∴AC=，

在Rt△BOC中，

∵BO=4，OC=2，

∴BC=2，

∵AB=AO+BO=1+4=5，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC為直角三角形．

（3）△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為，理由如下：

①一點為C，AB、AC、BC邊上各有一點，如圖2，此時△AGF∽△ACB∽△FEB．

設GC=x，AG=-x，

∵，

∴，

∴GF=2-2x，

∴S=GCGF=x（2-2x）=-2x2+2x=-2[（x-）2-]=-2（x-）2+，

即當x=時，S最大，為．

②AB邊上有兩點，AC、BC邊上各有一點，如圖3，此時△CDE∽△CAB∽△GAD，

設GD=x，

∵，

∴，

∴AD=x，

∴CD=CA-AD=，

∵，

∴，

∴DE=5-x，

∴S=GDDE=x（5-x）=-x2+5x=-[（x-1）2-1]=-（x-1）2+．

即x=1時，S最大，為．

綜上所述，△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為．