Question

【題目】閱讀下列材料，并解決后面的問題． 材料：我們知道，n個相同的因數a相乘 可記為an ， 如23=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為log28（即log28=3），一般地，若an=b （a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab=n）．如34=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381=4）
（1）計算以下各對數的值：log24= ， log216= ， log264= ．
（2）觀察（1）中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式？log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關系式？
（3）根據（2）的結果，我們可以歸納出：logaM+logaN=logaM N（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 請你根據冪的運算法則：am=am+n以及對數的定義證明該結論．

Answer 1

【答案】
（1）2；4；6
（2）解：4×16=64，

log24+log216=2+4=6=log264

（3）解：設logaM=x，那么有ax=M，又設logaN=y，那么有ay=M，

故logaM+logaN=x+y而ax+y=axay=MN，

根據對數的定義化成對數式為x+y=logaMN，

∴logaM+logaN=logaMN

【解析】解：（1）∵22=4， ∴log24=2，
∵24=16，
∴log216=4，
∵26=64，
∴log264=6，
所以答案是：2，4，6；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解有理數的乘方的相關知識，掌握有理數乘方的法則：1、正數的任何次冪都是正數2、負數的奇次冪是負數；負數的偶次冪是正數；注意：當n為正奇數時: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 當n為正偶數時: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n．