Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：∽；；；其中正確的結論有______．

Answer 1

【答案】

【解析】

①證明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到，由AE=AD=BC，得到，即CF=2AF；

③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，證明DM垂直平分CF，即可證明；

④設AE=a，AB=b，則AD=2a，根據△BAE∽△ADC，得到，即b=a，可得tan∠CAD=．

如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴，即CF=2AF，

∴CF=2AF，故②正確；

作DM∥EB交BC于M，交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正確；

設AE=a，AB=b，則AD=2a，

由△BAE∽△ADC，

∴，即b=a，

∴tan∠CAD=，故④錯誤；

故答案為：①②③．