Question

（2013•江寧區二模）根據三角形外心的概念，我們可引入如下概念：定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．
（1）應用：如圖1，PA=PB，過準外心P作PD⊥AB，垂足為D，PD=

3

6

AB，求∠PAD；
（2）探究：如圖2，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，AB=6，準外心P在AC邊上，試探究PA的長．

Answer 1

分析：（1）根據PA=PB，PD⊥AB，得出AD=BD，求出PD=

3

6

AB，PD=

3

3

AD，再根據tan∠PAE=

PD

AD

=

3

3

，即可得出答案．
（2根據勾股定理求出AC的值，分三種情況進行討論，若PB=PC，連結PB，設PA=x，得出PB=PC=8-x，再根據勾股定理求出PA的值；若PA=PC，得出PA=4；若PA=PB，由圖知，不存在；從而得出PA的長．

解答：解：（1）∵PA=PB，PD⊥AB，
∴AD=BD，
∵PD=

3

6

AB，
∴PD=

3

3

AD，
在Rt△PAD中，tan∠PAE=

PD

AD

=

3

3

，
∴∠PAD=30°．

（2）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，BC=10，AB=6，
∴AC=

BC2-AB2

=

102-62

=8，
若PB=PC，連結PB，
設PA=x，則PB=PC=8-x，
在Rt△PAB中，
∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+6²，
∴x=

7

4

，即PA=

7

4

，
若PA=PC，則PA=4，
若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能，
故PA=4或

7

4

．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是勾股定理、特殊角的三角函數，等腰三角形的性質，注意解（2）時，要分三種情況討論，不要漏項．