Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象過點O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點B，且對稱軸是直線x＝3．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若M是OB上的一點，作MN∥AB交OA于N，當△ANM面積最大時，求M的坐標；

（3）P是x軸上的點，過P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過A作AC⊥x軸于C，當以O，P，Q為頂點的三角形與以O，A，C為頂點的三角形相似時，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當t＝3時，S△AMN有最大值3，此時M點坐標為（3，0）；（3）P點坐標為（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．

【解析】

（1）先利用拋物線的對稱性確定B（6，0），然后設交點式求拋物線解析式；

（2）設M（t，0），先其求出直線OA的解析式為直線AB的解析式為y=2x-12，直線MN的解析式為y=2x-2t，再通過解方程組得N（），接著利用三角形面積公式，利用S△AMN=S△AOM-S△NOM得到然后根據二次函數的性質解決問題；

（3）設Q，根據相似三角形的判定方法，當時，△PQO∽△COA，則；當時，△PQO∽△CAO，則，然后分別解關于m的絕對值方程可得到對應的P點坐標．

解：（1）∵拋物線過原點，對稱軸是直線x＝3，

∴B點坐標為（6，0），

設拋物線解析式為y＝ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a82＝4，解得a＝，

∴拋物線解析式為y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；

（2）設M（t，0），

易得直線OA的解析式為y＝x，

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y＝2x﹣12，

∵MN/span>∥AB，

∴設直線MN的解析式為y＝2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，

∴直線MN的解析式為y＝2x﹣2t，

解方程組得，則，

∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM

，

當t＝3時，S△AMN有最大值3，此時M點坐標為（3，0）；

（3）設，

∵∠OPQ＝∠ACO，

∴當時，△PQO∽△COA，即，

∴PQ＝2PO，即，

解方程得m1＝0（舍去），m2＝14，此時P點坐標為（14，0）；

解方程得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此時P點坐標為（﹣2，0）；

∴當時，△PQO∽△CAO，即，

∴PQ＝PO，即，

解方程得m1＝0（舍去），m2＝8，此時P點坐標為（8，0）；

解方程得m1＝0（舍去），m2＝4，此時P點坐標為（4，0）；

綜上所述，P點坐標為（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．