Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．

（1）求點B，C的坐標；

（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；

（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0，3）；（2）△CDB為直角三角形；（3）S=．

【解析】試題分析：（1）首先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點B，C的坐標；
（2）分別求出△CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形；
（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：
（I）當0＜t≤時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；
（II）當＜t＜3時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個三角形．

試題解析：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，

∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4，

令x=0，得y=3，

∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，

∴B（3，0）．

（2）△CDB為直角三角形．

理由如下：由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）．

如答圖1所示，

過點D作DM⊥x軸于點M，則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

過點C作CN⊥DM于點N，則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD=；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD=．

∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3，直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，

∴直線QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

設直線BD的解析式為y=mx+m，

∵B（3，0），D（1，4），

∴，

解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6.連接CQ并延長,射線CQ交BD于點G，則G（1.5,3）.

在△COB向右平移的過程中：

（I）當0＜t≤1.5時，如答圖2所示：設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

設QE與BD的交點為F，則： ，

解得，

∴F（3﹣t，2t）．

S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=0.5PEPQ=0.5PBPK=0.5BEyF==0.5×3×3=0.5(3﹣t)2=0.5t2t=-1.5t2+3t；

（II）當1.5＜t＜3時，如答圖3所示：設PQ分別與BC、BD交于點K、點J．

∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t．直線BD解析式為y=﹣2x+6,

令x=t，得y=6﹣2t，

∴J（t，6﹣2t）．

S=S△PBJ﹣S△PBK=0.5PBPJ﹣0.5PBPK=0.5（3﹣t）（6﹣2t）﹣0.5（3﹣t）2=0.5t2﹣3t+4.5．

綜上所述，S與t的函數關系式為：S= ．