Question

【題目】如圖：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，點D是AB上任意一點，AE⊥AB，且AE=BD，DE與AC相交于點F．

（1）試判斷△CDE的形狀，并說明理由．

（2）是否存在點D，使AE=AF？如果存在，求出此時AD的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△CDE是等腰直角三角形，見解析；（2）存在AD=1．

【解析】

(1)根據等腰直角三角形的性質求∠B=∠BAC=45°,再求出∠CAE=45°,從而得到∠B=∠CAE,再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等,根據全等三角形對應邊相等可得CD=CE,全等三角形對應角相等可得∠ACE=∠BCD,再求出∠DCE=90°,從而得解;(2)根據等腰三角形兩底角相等求出∠AEF=∠AFE=67.5°,再根據直角三角形兩銳角互余求出∠ADE=22.5",然后求出∠ADC=67.5",利用三角形的內角和定理求出∠ACD=67.5°,從而得到∠ACD=∠ADC,根據等角對等邊即可得到AD=AC.

解：（1）△CDE是等腰直角三角形．

理由如下：

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵AE⊥AB，

∴∠CAE=90°-45°=45°，

∴∠B=∠CAE，

在△ACE和△BCD中，，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，

∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，

∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形；

（2）存在AD=1．.

理由如下：

∵AE=AF，∠CAE=45°，

∴∠AEF=∠AFE=（180°-45°）=67.5°，.

∴∠ADE=90°-67.5°=22.5°，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE=45°，

∴∠ADC=22.5°+45°=67.5°，

在△ACD中，∠ACD=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠ACD=∠ADC，

∴AD=AC=1.