Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=mcosθ（m＞0），過點(diǎn)P（﹣2，﹣4）且傾斜角為 的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）若|AP||BP|=|BA|2 ， 求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐標(biāo)方程：

y2=mx（m＞0）．

過點(diǎn)P（﹣2，﹣4）且傾斜角為 的直線l參數(shù)方程為： （t為參數(shù)）．

消去參數(shù)化為普通方程：y=x﹣2．

（2）把直線l的方程代入曲線C的方程為：t2﹣ （m+8）t+4（m+8）=0．

則t1+t2= （m+8），t1t2=4（m+8）．

∵|AP||BP|=|BA|2，∴|t1t2|= ，化為：5t1t2= ，

∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．

【解析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．過點(diǎn)P（﹣2，﹣4）且傾斜角為 的直線l參數(shù)方程為： （t為參數(shù)）．相減消去參數(shù)化為普通方程．（2）把直線l的方程代入曲線C的方程為：t2﹣ （m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP||BP|=|BA|2 ， 可得|t1t2|= ，化為：5t1t2= ，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．