Question

【題目】如圖，在□ABCD 中，以點 A 為圓心，AB 長為半徑畫弧交 AD 于點 F，再分別以點 B、F 為圓心，大于BF 的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點 P，連接 AP 并延長交 BC 于點 E，連接 EF．

（1）根據以上尺規作圖的過程，證明四邊形 ABEF 是菱形；

（2）若菱形 ABEF 的邊長為 2，AE＝ 2 ，求菱形 ABEF 的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由作法可知，AP平分∠BAF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可證明；

（2）連結BF，交AE于G．根據菱形的性質得出AB=2，AG=AE=，再根據勾股定理求出FG，可得BF的長，根據根據菱形面積公式計算即可；

解：（1）根據題意，

由作法可知，AP平分∠BAF，

∴∠EAB=∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，

∴BE=AB=AF．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB=BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）如圖，連結BF，交AE于G．

∵菱形ABEF的邊長為2，AE=，

∴AB=BE=EF=AF=2，AG=AE=，AE⊥BF，

∴∠AGF=90°，GF=，

∴，

∴菱形的面積為：.