Question

（2010•海滄區質檢）如圖，正方形ABCD的邊長為2

2

，E是邊AD上的一個動點（不與A重合），BE交對角線于F，連接
DF．
（1）求證：BF=DF；
（2）設AF=x，△ABF面積為y，求y與x的函數關系式，并畫出圖象．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的對角線平分一組對角可得∠BAC=∠DAC=45°，根據正方形的四條邊都相等可得AB=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）過點F作FM⊥AB于點M，根據正方形的性質以及等腰直角三角形的性質求出FM的長度，再利用三角形的面積公式列式整理即可得到y與x的函數關系式．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，
在△ABF和△ADF中，
∵

AB=AD ∠BAC=∠DAC AF=AF

，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF=DF；

（2）解：如圖，過點F作FM⊥AB，
∵∠BAC=45°（正方形的對角線平分一組對角），
∴FM=

2

2

AF=

2

2

x，
∴y=

1

2

AB•FM=

1

2

×2

2

×

2

2

x=x，
∵E是邊AD上的一個動點，
∴AF的最大值為

1

2

AC=

1

2

×

2

AB=

1

2

×

2

×2

2

=2，
∴自變量的取值范圍是0＜x≤2，
故y與x的函數關系式為y=x（0＜x≤2），圖象如圖．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，以及作正比例函數圖象，比較簡單，（2）中作輔助線構造等腰直角三角形從而求出AB邊上的高是解題的關鍵，要注意自變量的取值范圍．