Question

【題目】如圖所示，已知二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點是(1，4)，且圖象過點A(3，0)，與y軸交于點B.

（1）求二次函數y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）求直線AB的解析式；

（3）在直線AB上方的拋物線上是否存在一點C，使得S△ABC=.如果存在，請求出C點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y= -x2+2x+3；（2）y=﹣x+3；（3）（，）.

【解析】

（1）先把點(1，4)代入y＝ax2＋bx＋c化成頂點式，再把 A(3，0)代入y＝ax2＋bx+c；

（2）設直線AB的解析式為：y=kx+t，再將A（3,0）和B（0,3）代入即可；

（3）設C（x, -x2+2x+3）其中x＞0，過C作CD∥y軸，交AB于D點，則D坐標為（x,-x+3），

再根據△ABC的面積求解.

解：（1）∵ (1，4) 是二次函數的頂點，

∴設二次函數的解析式為y=a(x-1)2+4，

又∵圖象過點A(3，0)，

∴代入可得4a+4=0，解得a=-1

∴y= -(x-1)2+4= -x2+2x+3，

（2）由上可知，B為（0,3），

設直線AB的解析式為：y=kx+t，

將A（3,0）和B（0,3）代入可得k=-1,b=3，

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+3 ，

（3）∵C在直線AB上方的拋物線上，

∴可設C（x, -x2+2x+3）其中x＞0，

過C作CD∥y軸，交AB于D點.

則D坐標為（x,-x+3），

又∵S△ABC=，∴ [（-x2+2x+3）-（-x+3）]×3=，

解得x1=x2=，代入-x2+2x+3得，

∴C點坐標為（，）.