Question

已知一元二次方程x²-4x-5=0的兩個實數根為x₁、x₂，且x₁<x₂，若x₁、x₂分別是拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個交點A、B的橫坐標（如下圖所示）。

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與y軸的交點為C，拋物線的頂點為D，請直接寫出點C、D的坐標并求出四邊形ABDC的面積；
（3）是否存在直線y=kx（k>0）與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。［注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（）］

Answer 1

解：（1）由方程x2-4x-5=0得方程的兩根x1=-1，x2=5， 所以A、B的坐標分別為A（-1，0）、B（5，0）， 把A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c得 ，解得， ∴拋物線的解析式為y=-x2+4x+5； （2）C（0，5）、D（2，9） 如圖所示，過D作DE⊥x軸于點E， 則S四邊形ACDB=S△AOC+S四邊形OCDE+S△EDB = = =16+14 =30； （3）存在滿足條件的直線； 設過B、D兩點的直線解析式為y=k1x+d， 把B（5，0）、D（2，9）代入y=k1x+d得 ，解得， ∴直線BD的解析式為y=-3x+15， 設y=kx與y=-3x+15的交點為F（m，n）， 作直線OF，則S△OBF=，即OB×n=15， ∴×5n=15， ∴n=6， 又∵點F（m，6）在y=-3x+15上， ∴6=-3m+15， ∴m=3， ∴點F（3，6）， 把點F（3，6）代入y=kx，得6=3k，即k=2。