Question

已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A在B的左側），且A點坐標為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點．
（1）求一次函數與二次函數的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系，并給出證明；
（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t＞0），二次函數的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數圖象交y軸于F點．當t為何值時，過F，M，N三點的圓的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

（1）把A（-4，4）代入y=kx+1
得k=-

3

4

，
∴一次函數的解析式為y=-

3

4

x+1；
∵二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為y軸，
∴設二次函數解析式為y=ax²，
把A（-4，4）代入y=ax²
得a=

1

4

，
∴二次函數解析式為y=

1

4

x²．

（2）由

y=- 3 4 x+1 y= 1 4 x2

解得

x=-4 y=4

或

x=1 y= 1 4

，
∴B(1，

1

4

)，
過A，B點分別作直線l的垂線，垂足為A'，B'，
則AA′=4+1=5，BB′=

1

4

+1=

5

4

．
∴直角梯形AA'B'B的中位線長為

5+ 5 4

2

=

25

8

，
過B作BH垂直于直線AA'于點H，
則BH=A'B'=5，AH=4-

1

4

=

15

4

，
∴AB=

52+( 15 4 )2

=

25

4

，
∴AB的長等于AB中點到直線l的距離的2倍，
∴以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）平移后二次函數解析式為y=

1

4

（x-2）²-t，
令y=0，得

1

4

（x-2）²-t=0，x₁=2-2

t

，x₂=2+2

t

，
∵過F，M，N三點的圓的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸上，點C為定點，B要使圓面積最小，圓半徑應等于點F到直線x=2的距離，
此時，半徑為2，面積為4π，
設圓心為C，MN中點為E，連CE，CM，則CE=1，
在△CEM中，ME=

22-1

=

3

，
∴MN=2

3

，而MN=|x₂-x₁|=4

t

，
∴t=

3

4

，
∴當t=

3

4

時，過F，M，N三點的圓面積最小，最小面積為4π．