Question

已知拋物線y=ax²-2x+c與它的對稱軸相交于點A（1，-4），與y軸交于C，與x軸正半軸交于B．
（1）求這條拋物線的函數關系式；
（2）設直線AC交x軸于D，P是線段AD上一動點（P點異于A，D），過P作PE∥x軸交直線AB于E，過E作EF⊥x軸于F，求當四邊形OPEF的面積等于

7

2

時點P的坐標．

Answer 1

（1）由題意，知點A（1，-4）是拋物線的頂點，
∴

- -2 2a =1 -4=a-2+c

∴a=1，c=-3，
∴拋物線的函數關系式為y=x²-2x-3．

（2）由（1）知，點C的坐標是（0，-3）．
設直線AC的函數關系式為y=kx+b，
則

b=-3 -4=k+b

∴b=-3，k=-1，
∴y=-x-3．
由y=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標是（3，0）．
設直線AB的函數關系式是y=mx+n，
則

3m+n=0 m+n=-4

解得m=2，n=-6．
∴直線AB的函數關系式是y=2x-6．
設P點坐標為（x_P，y_P），則y_P=-x_P-3．
∵PE∥x軸，
∴E點的縱坐標也是-x_P-3．
設E點坐標為（x_E，y_E），
∵點E在直線AB上，
∴-x_P-3=2x_E-6，
∴x_E=

3-xP

2

．
∵EF⊥x軸，
∴F點的坐標為（

3-xP

2

，0），
∴PE=x_E-x_P=

3-3xP

2

，OF=

3-xP

2

，EF=-（-x_P-3）=x_P+3，
∴S_{四邊形OPEF}=

1

2

（PE+OF）•EF=

1

2

（

3-3xP

2

+

3-xP

2

）•（x_P+3）=

7

2

，
2x_P²+3x_P-2=0，
∴x_P=-2，xP=

1

2

，
當y=0時，x=-3，
而-3＜-2＜1，-3＜

1

2

＜1，
∴P點坐標為(

1

2

，-

7

2

)和（-2，-1）