Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=（ ）
A.
B.
C.
D. ﹣2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2 ， 即（2BC）2=BC2+AB2 ，
3BC2=AB2 ，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= = =2 ．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過M點作ME⊥CN于E，設NE=x，則CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2 ， 即4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴ME= = ，
∴tan∠MCN= =
故選：A．
【考點精析】本題主要考查了三角形的面積和角平分線的性質定理的相關知識點，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高；定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上才能正確解答此題．