Question

【題目】矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A為旋轉中心順時針旋轉矩形ABCO得到矩形AFED．

（1）如圖1，當點D落在邊BC上時，求BD的長（用a的式子表示）；

（2）如圖2，當a＝3時，矩形AFED的對角線AE交矩形ABCO的邊BC于點G，連結CE，若△CGE是等腰三角形，求直線BE的解析式；

（3）如圖3，矩形ABCO的對稱中心為點P，當P，B關于AD對稱時，求出a的值，此時在x軸、y軸上是否分別存在M，N使得四邊形EFMN為平行四邊形，若存在直接寫出M，N坐標，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD＝；（2）y＝﹣x+6；（3）M（，0），N（0，）

【解析】

（1）如圖1，當點D落在邊BC上時，BD2=AD2-AB2，即可求解；

（2）分CG=EG、CE=GE、CE=CG三種情況分別求解；

（3）①由點P為矩形ABCO的對稱中心，得到求得直線PB的解析式為，得到直線AD的解析式為：，解方程即可得到結論；②根據①中的結論得到直線AD 的解析式為，求得∠DAB=30°，連接AE，推出A，B，E三點共線，求得，設M（m，0），N（0，n），解方程組即可得到結論．

（1）如圖1，

在矩形ABCO中，∠B＝90°

當點D落在邊BC上時，BD2＝AD2﹣AB2，

∵C（0，3），A（a，0）

∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，

∴BD＝；

（2）如圖2，連結AC，

∵a＝3，∴OA＝OC＝3，

∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，

設∠ECG的度數為x，

∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，

①當CG＝EG時，x＝45°+x，

解得x＝0，不合題意，舍去；

②當CE＝GE時，如圖2，

∠ECG＝∠EGC＝x

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，

∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合題意，舍去；

③當CE＝CG時，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，

∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°

如圖3，連結OB，交AC于點Q，過E作EH⊥AC于H，連結BE，

∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，

∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°

∴四邊形EHQB是矩形

∴BE∥AC，

設直線BE的解析式為y＝﹣x+b，

∵點B（3，3）在直線上，則b＝6，

∴直線BE的解析式為y＝﹣x+6；

（3）①∵點P為矩形ABCO的對稱中心，

∴，

∵B（a，3），

∴PB的中點坐標為：，

∴直線PB的解析式為，

∵當P，B關于AD對稱，

∴AD⊥PB，

∴直線AD的解析式為：，

∵直線AD過點，∴，

解得：a＝±3，

∵a≥3，

∴a＝3；

②存在M，N；

理由：∵a＝3，

∴直線AD 的解析式為y＝﹣x+9，

∴∴∠DAO＝60°，

∴∠DAB＝30°，

連接AE，

∵AD＝OA＝3，DE＝OC＝3，

∴∠EAD＝30°，

∴A，B，E三點共線，

∴AE＝2DE＝6，

∴，

設M（m，0），N（0，n），

∵四邊形EFMN是平行四邊形，

∴，

解得：，

∴M（，0），N（0，）．