Question

【題目】如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請根據以上結論，解決下列問題：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的兩根．
（2）已知實數a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值；
（3）已知關于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數．

Answer 1

【答案】
（1）解：當p=﹣4，q=3，則方程為x2﹣4x+3=0，

解得：x1=3，x2=1

（2）解：∵a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，

∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，

當a≠b時，a+b=15，a﹣b=﹣5，

+ = = = =﹣47；

當a=b時，原式=2

（3）解：設方程x2+mx+n=0，（n≠0），的兩個根分別是x1，x2，

則 + = =﹣ ， = = ，

則方程x2+ x+ =0的兩個根分別是已知方程兩根的倒數

【解析】（1）根據p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根據a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先設方程x2+mx+n=0，（n≠0）的兩個根分別是x1 ， x2 ， 得出 + =﹣ ， = ，再根據這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數，即可求出答案．
【考點精析】通過靈活運用根與系數的關系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商即可以解答此題．